Tuesday, November 23, 2010

g10-指數 冪

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--指數   冪


冪（音同「覓」），指乘方運算的結果。nm指將n自乘m次。把nm看作乘方的結果，叫做n的m次冪。
a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,

0的0次方是懸而未決的，在某些領域定義為1，某些領域未定義，但並未提出不定義之理由。
冪不符合結合律和交換律。
因為十的次方很易計算，只需在後加零即可，所以科學記數法藉助此簡化記錄數的方式；二的冪在計算機科學中很有用。

重要的恆等式

[編輯]運算法則

a^{m + n} = a^m \times a^n.
a^{m - n} =\frac{a^m}{a^n}
如果a ≠ 0，則(a^m)^n = a^{m \cdot n}.
(a \times b)^n = a^n \times b^n.

[編輯]其他等式

  • a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}
  • x^{-m}= \frac{1}{x^m} \qquad (x \ne 0)
  • x^0=1 \qquad
  • x^1=x\,\!
  • x^{-1}=\frac{1}{x} \qquad (x \ne 0)
  • (xm)n = xmn
  • x^i=e^{i \ln x}=\cos(\ln x) + i \sin (\ln x), \quad i^2 = -1

[編輯]運算律

加法和乘法遵守交換律，比如：2+3 = 5 = 3+2，2×3 = 6 = 3×2，但是冪的運算不遵守交換律，23 = 8，但是32 = 9。
同樣，加法和乘法遵守結合律，比如：(2+3)+4 = 9 = 2+(3+4)，(2×3)×4 = 24 = 2×(3×4)，冪同樣不遵守：(23)4 = 84 = 4096，但是2^{(3^4)} = 2^{81} = 2,417,851,639,229,258,349,412,352 。冪的運算順序通常由上到下：
a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\times c)}=a^{b\times c}.

正整數指數冪

表達式a^2 = a\cdot a被稱作a的平方，因為邊長為a的正方形面積是a2。
表達式a^3 = a\cdot a\cdot a被稱作a的立方，因為邊長為a的正方體面積是a3。
所以32讀作3的平方，23讀作2的立方。
指數表示的是有多少個底數相乘。比如3^5 = 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = 243，指數是5，底數是3，表示有5個3相乘。
或者，整數指數冪可以遞歸地定義成：
a^n= \begin{cases} a & (a= 0) \\ a \cdot a^{n-1} & (n> 0) \\ \frac 1 a^{-n} & (n< 0) \end{cases}

0的冪

0的正數冪都等於0。
0的負數冪沒有定義。
0的0次方是懸而未決的，在某些領域定義為1，某些領域未定義，但並未提出不定義之理由。

[編輯]負1的冪

-1的奇數冪等於-1
-1的偶數冪等於1

指數非常大時的冪

一個大於1的數的冪趨於無窮大，一個小於-1的數的冪趨於負無窮大
當a > 1， n \to \infty， a^n \to \infty
當a < − 1， n \to \infty， a^n \to -\infty
一個絕對值小於1的數的冪趨於0
當 | a | < 1， n \to \infty， a^n \to 0
1的冪永遠都是1
當a = 1， n \to \infty， a^n \to 1
如果數a趨於1而它的冪趨於無窮，那麼極限並不一定是上面幾個。一個很重要的例子是：
當 n \to \infty， (1+\frac{1}{n})^n \to e

N次方根


從上到下：x^{\frac{1}{8}},\ x^{\frac{1}{4}},\ x^{\frac{1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}
主條目：方根
一個數a的n次方根是x，x使xn = a。
如果a是一個正實數，n是正整數，那麼方程xn = a只有一個正實數根。 這個根被稱為a的n次方根，記作：\sqrt[n]{a}，其中\sqrt{\ }叫做根號。或者，a的n次方根也可以寫成a^{\frac{1}{n}}. 例如4^{\frac{1}{2}} = 2,\ 8^{\frac{1}{3}} = 2
當指數是\frac{1}{2}時根號上的2可以省略，如：\sqrt{4} = \sqrt[2]{4} = 2

[編輯]有理數冪

有理數指數通常可以理解成
a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

[編輯]e的冪

主條目：指數函數
這個重要的數學常數e，有時被叫做歐拉數，近似2.718，是自然對數的底。它提供了定義非整數指數冪的一個方法。它是從以下極限定義的：
e =\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n} )^n
指數函數的定義是：
e^x =\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n} )^n
可以很簡單地證明e的正整數k次方ek是：
e^k = (\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n} ) ^n)^k
= \lim_{n \to \infty} ((1+\frac{1}{n} ) ^n)^k
= \lim_{n \to \infty} (1+\frac k {n\cdot k} )^{n \cdot k}
= \lim_{n \cdot k \to \infty} (1+\frac k {n\cdot k} )^{n \cdot k} = \lim_{m \to \infty} (1+\frac k m )^m

[編輯]實數指數冪

因為所有實數可以近似地表示為有理數，任意實數指數x可以定義成：
b^x = \lim_{r \to x} b^r,
例如：
x \approx 1.732
於是
5^x \approx 5^{1.732} =5^{433/250}=\sqrt[250]{5^{433}} \approx 16.241
實數指數冪通常使用對數來定義，而不是近似有理數。
自然對數lnx是指數函數ex的反函數。 它的定義是：對於任意b > 0，滿足
b = elnb
根據對數和指數運算的規則：
b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}
這就是實數指數冪的定義：
b^x = e^{x\cdot\ln b}\,
實數指數冪bx的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數，這種定義更加常用。

[編輯]負實數的實數冪

如果a是負數且n是偶數，那麼xn = a無實數解。 如果a是負數且n是奇數，那麼xn = a有一個負數解。
使用對數和有理數指數都不能將ak（其中a是負實數，k實數）定義成實數。在一些特殊情況下，給出一個定義是可行的：負指數的整數指數冪是實數，有理數指數冪對於a^\frac{m}{n}（n是奇數）可以使用n次方根來計算，但是因為沒有實數x使x2 = − 1，對於a^\frac{m}{n}（n是偶數）時必須使用虛數單位i。
使用對數的方法不能定義a ≤ 0時的ak為實數。實際上，ex對於任何實數x都是正的，所以ln(a)對於負數沒有意義。
使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數a因為它依賴於連續性。函數f(r) = ar對於任何正的有理數a是連續的，但是對於負數a，函數f在有些有理數r上甚至不是連續的。
例如：當a = -1，它的奇數次根等於-1。所以如果n是正奇數整數，-1^{\frac m n}=-1當m是奇數，-1^{\frac m n}=1當m是偶數。雖然有理數q使 − 1q = 1的集合是稠密集，但是有理數q使 − 1q = − 1的集合也是。所以函數 − 1q在有理數體不是連續的。








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