Tuesday, November 23, 2010

g10-一元二次方程

维基百科

- 一元二次方程 

例如，x2 − 3x + 2 = 0，\left (3-2i \right)x^2+\sqrt[\pi]{23-6i}x-\sin 2=0   ，t2 - 3 = 0等都是一元二次方程。 

公式解法


對於ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)，它的根可以表示為：
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.

根的判別式

對於實係數一元二次方程ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right) \,\!，\Delta=b^2-4ac \,\!稱作一元二次方程根的判別式。根據判別式，一元二次方程的根有三種可能的情況：
  • 如果Δ > 0，則這個一元二次方程有兩個不同的實數根。如果Δ是一個完全平方數，則這兩個根都是有理數，否則這兩個根都是實數。
  • 如果Δ = 0，則這個一元二次方程有兩個相等的實數根。而且這兩個根皆為
x=-\frac{b}{2a}\,\!
  • 如果Δ < 0，[(Δ < 0)與(Δ > 0)]，正負號相反，則這個一元二次方程有兩個不同的複數根。這時根為
\begin{align} x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\ x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\ i^2 &= -1 \end{align}

根與係數

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。
x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a} \,\!
x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\,\!

圖像解法


Δ > 0，則該函數與x軸相交（有兩個交點）
Δ = 0，則該函數與x軸相切（有且僅有一個交點）
Δ < 0，則該函數與x軸相離（沒有交點）
一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根的幾何意義是二次函數y = ax2 + bx + c的圖像（為一條拋物線）與x軸交點的X坐標。

ax2 + bx + c = 0的解是y = x2和y=- \begin{matrix} \frac{b}{a}x \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{c}{a} \end{matrix} \,\!交點的X座標
另外一種解法是把一元二次方程ax2 + bx + c = 0化為
x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\,\! 的形式。
則方程ax2 + bx + c = 0的根，就是函數y=x^2\,\!和y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\,\!交點的X坐標。
通過作圖，可以得到一元二次方程根的近似值。

計算機法

在使用計算機解一元二次方程時，跟人手工計算類似，大部分情況下也是根據下面的公式去解
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.
可以進行符號運算的程序，比如Mathematica, 可以給出準確的解析表達式。而大部分程序則只會給出數值解。(但亦有部份顯示平方根及虛數) 



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