(TERZA VERSIONE)
Ciao a tutti.
Stavo scambiando qualche HTmail con un amico e mi son reso conto che quanto scritto (quasi 2 anni fa) nell'articolo http://www.fergco.co/2010/05/hattrick-la-matematica-della-difesa.html non chiarisce alcuni punti importanti. Mano a mano che scrivevo questo articolo ho dovuto tornare su più volte, cambiarlo e modificarlo, spero sia piuttosto chiaro ora.
Il problema è un punto centrale del funzionamento del Motore di Gioco: ossia la conversione delle occasioni da gol in gol, che nasce dal confronto tra Attacco e Difesa.
Tralasciando la fiducia la formula che regola questo confronto dovrebbe essere all'incirca:
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Il problema è un punto centrale del funzionamento del Motore di Gioco: ossia la conversione delle occasioni da gol in gol, che nasce dal confronto tra Attacco e Difesa.
Tralasciando la fiducia la formula che regola questo confronto dovrebbe essere all'incirca:
Probabilità % di Gol = Att^3.6 / (Att^3.6+ Dif^3.6)
Primo passo è osservare che la formula NON è LINEARE.
Se fosse lineare, ogni aumento di tot del mio attacco mi darebbe un aumento costante di tot della probabilità di segnare.
Così non è.
Occorre quindi capire COME la funzione non sia lineare, per vedere come distribuire meglio i propri valori in attacco per massimizzare la propria probabilità di segnare.
Comincio da un esempio numerico, semplice semplice: il mio avversario fa 50 di difesa (fuoriclasse basso), io invece vario il mio attacco da 20 a 80
ad es.
- io faccio 50? allora 50^3.6/(50^3.6+50^3.6) = 0.5 , la probabilità di segnare è il 50%
- io faccio 45? la probabilità di segnare è il 40.63%
- io faccio 60? la probabilità di segnare è il 65.84%
vediamo una tabella che riassume questo:
Se fosse lineare, ogni aumento di tot del mio attacco mi darebbe un aumento costante di tot della probabilità di segnare.
Così non è.
Occorre quindi capire COME la funzione non sia lineare, per vedere come distribuire meglio i propri valori in attacco per massimizzare la propria probabilità di segnare.
Comincio da un esempio numerico, semplice semplice: il mio avversario fa 50 di difesa (fuoriclasse basso), io invece vario il mio attacco da 20 a 80
ad es.
- io faccio 50? allora 50^3.6/(50^3.6+50^3.6) = 0.5 , la probabilità di segnare è il 50%
- io faccio 45? la probabilità di segnare è il 40.63%
- io faccio 60? la probabilità di segnare è il 65.84%
vediamo una tabella che riassume questo:
dove vedete come varia la probabilità di segnare al variare del mio attacco, mentre la difesa del mio avversario è costante.
Ora, le percentuali, al variare del valore del mio attacco non sono lineari, si vede subito, se le metto in un grafico, che hanno una forma a "S":
Ora, le percentuali, al variare del valore del mio attacco non sono lineari, si vede subito, se le metto in un grafico, che hanno una forma a "S":
Questo cosa significa in concreto?Proviamo a vedere i numeri in alto:
parto dal centro: faccio 50 in attacco, l'avversario 50, ho il 50%
passo da 50 a 52 (+2), vedo che la probabilità passa dal 50% al 53.52%, cioè +3.52%
passo da 52 a 54 (+2), vedo che la probabilità passa dal 53.52% al 56.88%, cioè +3.36%
vedete? ho guadagnato, ma meno di prima
idem se passo da 54 a 56 (sempre +2), vedo che la probabilità passa dal 56.88% al 60.06%, cioè +3.18%
quindi più aumento il mio valore di attacco, più alta sarà la mia probabilità % di segnare, ma l'aumento della probabilità sarà via via sempre più piccolo.
(Indico questo fenomeno come "Effetto Flesso", lo spiegherò nel paragrafo successivo)
Per dire, passare da 78 a 80 mi dà un aumento dal 83.21% al 84.45% cioè un misero +1.23%
Questo perché, tornando nella curva ad "S" sono nella parte alta, dove la curva abbassa la sua inclinazione, è meno ripida e quindi minore sarà il guadagno.
Fin qui penso sia tutto chiaro.
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Ora arriva però un punto importante: la curva NON ha il suo "centro" al valore pari a quello dell'avversario, che nell'esempio in esame è 50.
Si vedeva subito, anche ad occhio: da 50 a 80 del mio attacco è +30, e la percentuale passa dal 50% all'84.45% cioè +34.45%, ma dall'altra parte da 50 a 20 ho -30, ma la percentuale passa dal 50% al 3.56% cioè -46.44%.
50 quindi non è un punto di "simmetria" della funzione.
Torno all'esempio numerico e procedo andando indietro passo passo a vedere come variano i valori:
da 48 a 50 (+2): da 46.33% a 50%, cioè +3.67%, che è maggiore del passaggio da 50 a 52
da 46 a 48 (+2): da 42.55% a 46.33%, cioè +3.78%, che è maggiore del precedente
da 44 a 46 (+2): da 38.69% a 42.55%, cioè +3.86%, che è maggiore del precedente
da 42 a 44 (+2): da 34.80% a 38.69%, cioè +3.89%, che è maggiore del precedente
da 40 a 42 (+2): da 30.93% a 34.80%, cioè +3.87%, che è MINORE del precedente
Questa la tabella:
che in grafico è
come vedete è una curva che ha un massimo, in un punto, chiamiamolo "Valore di Flesso" e tale valore è inferiore alla parità coi valori dell'avversario (nell'esempio, 50)Questo avrà grosse conseguenze sulle scelte di come distribuire i valori di attacco.
INCISO MATEMATICO
Quello che ho chiamato il valore di Flesso è infatti il punto di flesso della curva di probabilità (dove la curva passa da concava a convessa), che si ricava ponendo x il valore del mio attacco e k il valore della difesa dell'avversario e annullando la derivata seconda della funzione y=x^3.6/(x^3.6+k^3.6). Non è proprio una cosa immediata. Qui i conti se siete interessati: https://sites.google.com/site/andreactools/home/CALCOLO%20del%20PUNTO%20di%20FLESSO.docx?attredirects=0&d=1, sennò saltate direttamente alla conclusione che è:
Nell'esempio sopra, con k=50 è il valore preciso è 42.6718 e rotti, quello approssimato di 42.67.
Il valore quindi a cui cambia la curva è pari a circa l'85.34% del valore dell'avversario.
Ora, tornando a bomba, il punto chiave è che più mi allontano dal Valore di Flesso (verso l'alto o verso il basso) minore sarà la variazione della mia probabilità di segnare.
Chiamo questo fenomeno "EFFETTO FLESSO"
Cosa comporta questo nelle mie scelte di distribuzione dei valori in campo?
Comincio con degli esempi numerici e supponiamo di considerare i due attacchi laterali assieme.
Le difese del mio avversario sono fisse ed uguali, fa 50 a sinistra e 50 a destra.
CASO A. I miei attacchi sono in media maggiori delle difese avversarie
Parto con l'esempio della parità con l'avversario: ho a disposizione un totale di 100. Come lo distribuisco? 50 e 50? 55 e 45? 60 e 40?
Proviamo a vedere e poi sarà chiaro.
1. 50 e 50.
A sinistra 50 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 50%
A destra 50 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 50%
media complessiva è 50%
2. 55 e 45.
A sinistra 55 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 58.49%
A destra 45 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 40.63%
media complessiva è 49.56%
Il perché è chiaro: i 5 punti tra 50 e 55 sono più lontani dal Valore di Flesso (qui 42.92) dei 5 punti tra 45 e 50. Pertanto la variazione della probabilità di segnare dell'attacco di sinistra (da 50% a 58.49% è +8.49%) è inferiore alla variazione della probabilità di segnare a destra (da 50 a 40.63% è un -9.37%).
3. 60 e 40.
A sinistra 60 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 65.84%
A destra 40 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 30.93%
media complessiva è 48.39%
Come ci si poteva aspettare la media è calata ancora.
Avendo 100 a disposizione la scelta ottimale è quella di distribuirli in modo identico sui due lati di attacco. Questo il grafico della probabilità media di segnare al variare delle coppie di attacchi vedete indicate, a partire da destra 50 e 50 con probabilità 50%, il pallino blu subito a sinistra è 51 e 49, poi 52 e 48... poi 55 e 45 che ha un valore di 49.56% (lo vedete nella colonna a sinistra) e via via tutti gli altri:
Il valore quindi a cui cambia la curva è pari a circa l'85.34% del valore dell'avversario.
Ora, tornando a bomba, il punto chiave è che più mi allontano dal Valore di Flesso (verso l'alto o verso il basso) minore sarà la variazione della mia probabilità di segnare.
Chiamo questo fenomeno "EFFETTO FLESSO"
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Cosa comporta questo nelle mie scelte di distribuzione dei valori in campo?
Comincio con degli esempi numerici e supponiamo di considerare i due attacchi laterali assieme.
Le difese del mio avversario sono fisse ed uguali, fa 50 a sinistra e 50 a destra.
CASO A. I miei attacchi sono in media maggiori delle difese avversarie
Parto con l'esempio della parità con l'avversario: ho a disposizione un totale di 100. Come lo distribuisco? 50 e 50? 55 e 45? 60 e 40?
Proviamo a vedere e poi sarà chiaro.
1. 50 e 50.
A sinistra 50 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 50%
A destra 50 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 50%
media complessiva è 50%
2. 55 e 45.
A sinistra 55 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 58.49%
A destra 45 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 40.63%
media complessiva è 49.56%
Il perché è chiaro: i 5 punti tra 50 e 55 sono più lontani dal Valore di Flesso (qui 42.92) dei 5 punti tra 45 e 50. Pertanto la variazione della probabilità di segnare dell'attacco di sinistra (da 50% a 58.49% è +8.49%) è inferiore alla variazione della probabilità di segnare a destra (da 50 a 40.63% è un -9.37%).
3. 60 e 40.
A sinistra 60 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 65.84%
A destra 40 attacco contro 50 difesa, probabilità di segnare 30.93%
media complessiva è 48.39%
Come ci si poteva aspettare la media è calata ancora.
Avendo 100 a disposizione la scelta ottimale è quella di distribuirli in modo identico sui due lati di attacco. Questo il grafico della probabilità media di segnare al variare delle coppie di attacchi vedete indicate, a partire da destra 50 e 50 con probabilità 50%, il pallino blu subito a sinistra è 51 e 49, poi 52 e 48... poi 55 e 45 che ha un valore di 49.56% (lo vedete nella colonna a sinistra) e via via tutti gli altri:
E se ho 110? Idem. La scelta ottimale sarà 55 e 55, dato che se metto 56 e 54 il guadagno da 55 a 56 è inferiore alla perdita da 55 a 54 (dato che 54 è più vicino al Valore di Flesso di 56).
Quindi se la somma dei valori dei miei attacchi laterali è maggiore o uguale alla somma di quelli del mio avversario la scelta ottimale è quella di distribuire gli attacchi in modo uguale, attacchi SIMMETRICI.
CASO B. I miei attacchi sono in media minori delle difese avversarie, ma superiori al valore di flesso.
E se la somma dei miei attacchi è inferiore alla somma delle difese dell'avversario?
Qui entra in gioco un altro effetto.
Rappresento di nuovo la curva messa all'inizio, quella della mia probabilità di segnare, all'inizio avevo mostrato da 20 a 80 il mio valore di attacco a fronte di 50 quello della difesa avversaria.
Ora amplio e mostro da 0 a 100.
Quindi se la somma dei valori dei miei attacchi laterali è maggiore o uguale alla somma di quelli del mio avversario la scelta ottimale è quella di distribuire gli attacchi in modo uguale, attacchi SIMMETRICI.
CASO B. I miei attacchi sono in media minori delle difese avversarie, ma superiori al valore di flesso.
E se la somma dei miei attacchi è inferiore alla somma delle difese dell'avversario?
Qui entra in gioco un altro effetto.
Rappresento di nuovo la curva messa all'inizio, quella della mia probabilità di segnare, all'inizio avevo mostrato da 20 a 80 il mio valore di attacco a fronte di 50 quello della difesa avversaria.
Ora amplio e mostro da 0 a 100.
Ho indicato con delle righe blu i confini del grafico sopra, quelli che indicavano le zone "normali". Nelle zone estreme le cose cambiano e mentre a destra, sopra 80, i valori di probabilità di segnare continuano, seppur lentamente, a salire, sotto il 20 invece si appiattiscono in modo drastico.La curva si schiaccia ed è sotto l'1% già al valore 13. I valori inferiori hanno variazioni irrisorie quindi. E' una zona che ho chiamato "la fossa".
Pur essendo più vicina al valore di flesso, la forma della curva fa sì che le variazioni in alto, quelle sopra l'80, diventino maggiori di quelle nella fossa.
Pertanto se la somma dei miei attacchi laterali è pari a 94 (che fa 47 in media, quasi a metà tra il valore dell'avversario, 50, e quello del flesso, 42.9), la curva della probabilità di segnare al variare delle coppie di attacchi è la seguente.
Nel grafico sono indicate le coppie possibili, la prima coppia a sinistra è 1 e 93 e quindi è il massimo dell'asimmetria possibile tra gli attacchi, poi il pallino blu successivo indica 2 e 92, poi 3 e 93 e così via:
così mentre a destra vedete l'andamento determinato dall'effetto FLESSO, per cui la coppia 47 e 47 è meglio di 42 e 52 in quanto valori più ravvicinati al punto di flesso, a sinistra c'è l' "effetto fossa" per cui dalla coppia 22 + 72 verso sinistra i valori dell'attacco più debole entrano nella "fossa", cominciano a perdere meno di quanto guadagni l'attacco forte e le medie della probabilità di segnare cominciano a risalire.Fino alla coppia "6 e 88" comunque siamo ancora sotto, come valore percentuale di probabilità di segnare alla coppia di destra, simmetrica, "47 e 47".
Danfisico osserva "C'è da dire, però, che fare con un attacco valori da "fossa" mentre l'altro è molto forte è davvero difficile... la presenza stessa degli attaccanti che contribuiscono ad un lato, renderà l'altro attacco più forte dei valori (estremi) da fossa secondo me."
Verissimo, realizzare la coppia "4 e 90" che dà una media di probabilità migliore di "47 e 47" non è sempre possibile, in ogni caso questi discorsi teorici vanno valutati con i dati concreti.
Quanto sopra vale con un valore medio dei miei attacchi di 47, ma più scendo verso il valore di flesso (poco meno di 43), più è forte l'effetto Fossa rispetto all'effetto Flesso e la scelta di concentrare tutto su un lato diventa (statisticamente) vincente.
Caso C. La media dei valori dei miei attacchi è inferiore al valore di flesso
Sparisce il valore di flesso come lo conoscevamo: proviamo per un attimo a ignorare l'effetto fossa. E' meglio, supponendo un totale di 80, avere 40 o 40 oppure 39 e 41?
40 e 40?
Sbagliato.
Ricordiamo che all'allontanarsi dal punto di flesso le variazioni diventano sempre più piccole e quindi quell'1 che rinuncio passando da 41 a 40 non è compensato dalla salita da 39 a 40.
Effetto flesso ed effetto fossa qui spingono entrambi nella stessa direzione, suggerendo l'asimmetria tra i reparti.
SINTESI FINALE, a parità di difese laterali dell'avversario, quindi, abbiamo visto che la decisione se schierare attacchi uguali (simmetrici) oppure diversi (asimmetrici) dipende dal valore totale dei miei attacchi:
1) se il valore medio del mio attacco è superiore a quello della difesa avversaria (nell'esempio qui sopra superiore a 50), allora l'effetto flesso è più forte dell'effetto fossa e mi conviene schierare attacchi simmetrici
2) se il valore medio del mio attacco è compreso tra il valore di flesso (42,9 nell'esempio) e quello del mio avversario (50), allora effetto flesso ed effetto fossa sono in contrasto e occorrerà analizzare coi dati concreti se conviene l'attacco simmetrico o quello asimmetrico (oltretutto non è detto che i valori estremi di "fossa" siano concretamente realizzabili)
3) se il valore medio del mio attacco è inferiore al valore di flesso, allora l'effetto flesso si inverte (importante!) e indica che è meglio un attacco asimmetrico.
Questa una tabella per ricordare:
Ecco una immagine gif riassuntiva, al variare della somma dei miei attacchi da 120 (media 60) a 60 (media 30), con le difese avversarie sempre simmetriche e pari a 50. Vedete come a valori alti dei miei attacchi le curve siano più alte a destra (attacchi simmetrici), mentre mano a mano che si abbassano siano più interessanti gli attacchi a sinistra (asimmetrici):
Se avrò tempo farò qualche prova anche con difese avversarie asimmetriche, ora non riesco, sorry :)
40 e 40?
Sbagliato.
Ricordiamo che all'allontanarsi dal punto di flesso le variazioni diventano sempre più piccole e quindi quell'1 che rinuncio passando da 41 a 40 non è compensato dalla salita da 39 a 40.
Effetto flesso ed effetto fossa qui spingono entrambi nella stessa direzione, suggerendo l'asimmetria tra i reparti.
SINTESI FINALE, a parità di difese laterali dell'avversario, quindi, abbiamo visto che la decisione se schierare attacchi uguali (simmetrici) oppure diversi (asimmetrici) dipende dal valore totale dei miei attacchi:
1) se il valore medio del mio attacco è superiore a quello della difesa avversaria (nell'esempio qui sopra superiore a 50), allora l'effetto flesso è più forte dell'effetto fossa e mi conviene schierare attacchi simmetrici
2) se il valore medio del mio attacco è compreso tra il valore di flesso (42,9 nell'esempio) e quello del mio avversario (50), allora effetto flesso ed effetto fossa sono in contrasto e occorrerà analizzare coi dati concreti se conviene l'attacco simmetrico o quello asimmetrico (oltretutto non è detto che i valori estremi di "fossa" siano concretamente realizzabili)
3) se il valore medio del mio attacco è inferiore al valore di flesso, allora l'effetto flesso si inverte (importante!) e indica che è meglio un attacco asimmetrico.
Questa una tabella per ricordare:
Ecco una immagine gif riassuntiva, al variare della somma dei miei attacchi da 120 (media 60) a 60 (media 30), con le difese avversarie sempre simmetriche e pari a 50. Vedete come a valori alti dei miei attacchi le curve siano più alte a destra (attacchi simmetrici), mentre mano a mano che si abbassano siano più interessanti gli attacchi a sinistra (asimmetrici):
Se avrò tempo farò qualche prova anche con difese avversarie asimmetriche, ora non riesco, sorry :)
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