Tuesday, November 23, 2010

g10-對數

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-- 對數

各種基的對數: 紅色函數基是e, 綠色函數底數是10，而紫色函數基是1.7。在數軸上每個刻度是一個單位。所有基的對數函數都通過點（1,0），因為任何數的0次冪都是1，而底數β的函數通過點（β, 1），因為任何數的1次冪都是自身1。曲線接近y軸但永不觸及它，因為x=0的奇異性。

在數學中，數x（對於基β）的對數是b^y的指數y，使得x=β^y。基β的值一定不能是1或0(在擴展到複數的複對數情況下不能是1的方根)，典型的是10、e或2。數x(對於基β)的對數通常寫為

$y=\log_\beta x\$ 。

當x和β進一步限制為正實數的時候，對數是一個唯一的實數。

例如，因為

$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\$ ，

我們可以得出

$4=\log_381\$ ，

用日常語言說，以3為基81的對數是4。

對數函數

函數log_β(x)依賴於β和x二者，但是術語對數函數在標準用法中用來稱呼形如log_β(x)的函數，在其中基β是固定的而只有一個參數x。所以對每個基 $\beta=|R|\ne1,0$ 的值（必須是正數及不是1）只有唯一的對數函數。從這個角度看，基β的對數函數是指數函數

y = β x

的反函數。詞語「對數」經常用來稱呼對數函數自身和這個函數的一個特定值。

對數函數圖像和指數函數圖像關於直線y=x對稱（互為反函數）。

對數函數的性質有：

都過（1，0）點；
定義域為R+，值域為R；
β>1，在(0，+∞)上是增函數；1>β>0時，在(0，+∞)上是減函數。

常用公式

基本

$\ \log_a{a^x} = x$

和差

$\ \log{a} + \log{b} = \log{ab}$
$\ \log{a} - \log{b} = \log{\frac{a}{b}}$

指係

$\ \log{x^n} = n \log{x}$
$\ \log_{a^m}{x^n} = \frac{n}{m} \log_{a}{x}$

換底

$\ \log_a{x} = \frac{\log_b{x}}{\log_b{a}}$

還原

$\ a^{\log_a{x}} = x$

互換

$\ a^{\log{b}} = b^{log{a}}$

倒數

$\ \log_a{x} = \frac{1}{\log_x{a}}$

次方

$\ \log_a{x} = \log_{a^n}{x^n}$

連鎖

$\ \log_a{b} \cdot \log_b{c} \cdot \log_c{d} = \log_a{d}$

有理和無理指數

如果n是有理數，βⁿ表示等於β的n個因子的乘積:

$\underbrace{\beta\times\beta\times\cdots\times\beta}_n$ 。

但是，如果β是不等於1的正實數，這個定義可以擴展到在一個域中的任何實數n（參見冪）。類似的，對數函數可以定義於任何正實數。對於不等於1的每個正底數β，有一個對數函數和一個指數函數，它們互為反函數。

對數可以簡化乘法運算為加法，除法為減法，冪運算為乘法，根運算為除法。所以，在發明電子計算機之前，對數對進行冗長的數值運算是很有用的，它們廣泛的用於天文、工程、航海和測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。

底數

最常用做底數的是10、數學常數e ≈ 2.71828...和2。當寫出不帶底數的「log」的時候，意圖要從上下文中確定:

自然對數 (log_e, ln, log或Ln)在數學分析中。
常用對數 (log₁₀或簡寫為log;有時為lg)在工程中和在使用對數表簡化計算的時候。
二進制對數 (log₂;有時寫為lg或lb)在資訊理論和音程中。
不確定對數在底數無關緊要的時候，比如計算複雜性理論用大O符號描述演算法的漸進行為的時候。

為了避免混淆，在可能有歧義的時候最好指定底數。

[編輯]換底數

儘管有很多有用的恆等式，對計算器最重要的是找到不是建造於計算器內的底數(通常是log_e和log₁₀)的其他底數的對數。要使用其他底數β找到底數α的對數:

$\log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}$ 。

此外，這個結果蘊涵了所有對數函數（不管什麼底數）都是相互類似的。所以用計算器計算16的底數2的對數:

$\log_515625=\frac{\log_\beta15625}{\log_\beta5}$ 。

[編輯]對數的用途

對數對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導數，所以它們經常用在解積分中。對數是三個相關的函數中的一個。在等式bⁿ = x中，b可以從x的n次方根，n從x　的b底數的對數，x從b的n次的冪來確定。參見對數恆等式得到掌控對數函數的一些規則。

[編輯]簡便計算

對數把注意力從平常的數轉移到了冪。只要使用相同的底數，就會使特定運算更容易:

數的運算	冪的運算	對數恆等式
$\,xy$	$\,m+n$	$\,\log_{\theta}xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y$
$\frac{x}{y}$	$\,m-n$	$\log_{\theta}\frac{x}{y}=\log_{\theta}x-\log_{\theta}y$
$\,x^y$	$\,mn$	$\,\log_{\theta}x^y=y\log_{\theta}x$
$\sqrt[y]{x}$	$\frac{m}{n}$	$\log_{\theta}\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y}$