Tuesday, November 23, 2010

g10-多項式

维基百科

-- 多項式 



在數學領域裡，多項式是由變數以及標量（一般是實數或複數）經乘法及加法構法而成，屬於整式的代數式。下列四種都是多項式：
  • x-10\!
  • y^2+2y-5\!
  • x^2+y+5\!
  • \frac{2}{3}+ \frac{c}{12}\!
非多項式的例子：
  • \frac{12}{z}\!
  • \frac{2}{x}+ \frac{y}{30}\!
這些式子的變數位在分母，稱作分式，並非多項式。

因式分解

把一多項式分成幾個整式的積，稱為因式分解。這些整式可稱因式。

  • \ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
  • \ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
  • ( a + b )^{n} = C^{n}_{0}a^{n} + C^{n}_{1} a^{n - 1} b + C^{n}_{2} a^{n - 2} b^{2} + ... + C^{n}_{n - 1} a b^{n - 1} + C^{n}_{n}b^{n}
    • C^{n}_{m} = \frac{n!}{(n - m)!m!}
    • C^{n}_{0} = C^{n}_{n} = 0! = 1

多項式座標圖例子

一些低次數的多項式座標圖：

2次多項式:
f(x) = x2 - x - 2
= (x+1)(x-2)

3次多項式:
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2
= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)

4次多項式:
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5

5次多項式:
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2


多項式函數及多項式的根


例如 f=x2+1。若然考慮 x 是實數、複數、或矩陣，則 f 會無根、有兩個根、及有無限個根！
例如 f=x-y。若然考慮 x 是實數或複數，則 f 的零點集是所有 (x,x) 的集合，是一個代數曲線。事實上所有代數曲線由此而來。

[編輯]代數基本定理

代數基本定理是指所有一元 n 次（複數）多項式都有 n 個（複數）根。

[編輯]多項式的幾何特性

多項式是簡單的連續函數，它是平滑的，它的微分也必定是多項式。
泰勒多項式的精神便在於以多項式逼近一個平滑函數，此外閉區間上的連續函數都可以寫成多項式的均勻極限。






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